相加平均と相乗平均　78項

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$x∈\mathbb{R}：束縛変項$

$x_1,x_2,...,x_n$ > $0$ 　 $⇒$ 　 $\displaystyle\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}≥n\sqrt{x_1x_2\cdots x_n}$

が成立する．但し，等号は $x_1=x_2=\cdots=x_n$ のとき，そのときのみ成り立つ．

(証明)

　等号を示す． $k$ に関して $n:=1,2$ と置き

$x_1=［a_1］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_1:=2$

$x_2=［a_2］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a_2:=2$

$\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}=\sqrt{x_1x_2}$

を示す．

$\displaystyle\frac{2+2}{2}=2$

$\sqrt{2\cdot 2}=2$

であるから，これを量化して

$\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}=\sqrt{x_1x_2}$

を得る．不等号は∨-導入による．▢

日記2