とする．このとき (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (ⅴ) が成立する． (証明の方針) (ⅰ)について を示す． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 4 (4) 仮定 3,4 (5) 3,4. →-除去 3,4 (6) 5. ∧-除去 3,4 (7) 5. ∧-除去 ここで 零元の性質 分配律 i.e. ☆ であるから☆の両辺…
i.e. とする．このときの定義により と成る． (証明の方針) ① () より () と表される． ② より でありの定義より () と書ける． ☆ は可換環ではあるが，はの倍を意味しているので () を定めることにより が導き出される．
加法と乗法 () (零元) i.e. に対して (ⅰ) (ⅱ) が成立する． (証明の方針) (ⅰ),(ⅱ)ともに両辺が一致することを確かめる． (ⅰ)について ① を考える． 倍の定義より であるから ② を考える． したがって が成立する． (ⅱ)について ① を考える． ② を考える． そ…
束縛変項から自由変項へ とする． (二階述語論理) 手順 ① あるの指定 ② ∨ ③ ， 例 (1) すべての日本人はある人間である(束縛変項) ① ある人間の中に日本人がいる(在る・有る) ② ③ この日本人は人間である(自由変項) (2) すべての人間はある日本人である(束縛…
命題の真偽を論ずるというとき，たとえば「今日は雨天である」という命題の真偽は外へ出て雨が降っていれば真であり，雨が降っていなければ偽であることを証することができる．また，「2099年の1月1日は雨天である」という命題は，現時点では真偽を論ずるこ…
論理学からみた判断とは，すべて二個の概念の一致あるいは不一致の断定として考えられる．そして，これが言語によって表現されたものを命題という．判断を言語的にみれば主語(主辞)と述語(賓辞)とその両者を結びつけ，その関係を表す連辞の三個から成り立つ…
概念相互の関係による分類 ① 同一概念と等価概念 同一概念：内包・外延ともに同一な概念 例 「とうなす」と「かぼちゃ」，「父」と「男親」，「父母」と「両親」など 等価概念：内包は異なるが外延は一致する概念 例 「日本の首都」と「東京都」，「武士の魂…
概念の内包とは，概念の共通性の総体をいう． 例 ① 赤いりんごと青いりんご 内包：りんご (同一) 外延：赤色と青色 (異なる) ② 赤いりんごと赤い靴 内包：赤色 (同一) 外延：りんごと靴 (異なる) ③ 人と機械 内包が異なる(共通性がない) 外延：人と機械 ④ 人…
概念構成の性質上からの分類 ① 純粋概念と経験概念 経験概念：経験から抽象によって得られる概念 純粋概念：経験から得られるものでない．経験に依らずに形成される先験的(ア・プリオリ)な概念 純粋概念は，最も普遍的な概念であり最高の類概念でもあってこ…
分類 分類とは，概念を明晰にする(外延の明確化)論理的手続きをいう．すなわち，分類は類概念の外延に含まれる種概念を明確に区分し整理すること．そして，完全に組織された分類の体系を彙類(いるい)とよぶ． 被分類体：分類される類概念 分類肢：分類された…
定義 概念の内包を明確にする(明瞭)論理的手続きを概念の定義という． ① 唯名的定義 一般に辞書の定義であり，よりやさしい同義語による言葉の置換でものを説明する．これは単なる言葉の言い換えに過ぎず，論理的な定義とはいえない．しかし，唯名的定義が日…
概念の偶有性と共通性 偶有性と共通性という区別について，それは外界の存在によるのではなく，存在を把握する我々の視点にある．何を本質的な共通性と看るのかは，存在を把握する視点によって決まる．繰り返しになるが，概念や言葉による存在の認識は，存在…
名辞と概念 全く同一のものはない．しかし，個別にそれぞれ異なる名辞を与えなくてはならない，とすると百の机に百の名辞が必要になる．概念(言葉)とは百のものに百の名辞を付けることではない．概念の把握は存在の全的把握ではなく，我々の必要に応じた部分…
充足理由の原理 「すべての存在はその存在の理由を有する」と考えられる．これは思考の原理として，我々の思考が必ず十分な理由がともなっていることを要する．これより，偽の仮定はできないと解する． 例 すべての猿ならば，ある人間である． 偽 偽の前件 …
とする．このとき，はなりとはならず，との間には中間者がない，すなわち，はであるかまたは非であるか，何れかである． i.e. ∨ を排中の原理という．数学では，たとえば というように表すことがある．すなわち i.e. < ∨ である．これより，数学は強選言を採…
矛盾の原理 とする．このときは非ではない，という形式を矛盾の原理と呼ぶ．すなわち かつ は矛盾である． 矛盾を許容するとはどういうことか？ これより を構成することができる．しかし，そのような矛盾は実際に起こるのだろうか？ 例 人間 人間は動物であ…
とする．このとき，はなり，という形式で表されるものを同一の原理と呼ぶ． 例 人間 人間は人間である この判断に何か意味はあるのだろうか？ これ自体ではわからないので二階論理で記述すると すべての人間はある人間である で表される．このとき ① ある人…
個物とは？ 人間の感覚器官の五官から入る情報(五感)の中から1個,2個,......と数えることができるものを個物という． 概念とは？ この個物をつなげて考えるものを概念と呼ぶ(少なくとも1個の個物)．この概念は名辞で表される． 例 うさぎと亀 亀はうさぎを追…
概念 例 亀 判断 例 亀は動物である 推理(一階論理) 但し ☆ 賓辞とは述語から連辞を除いたもの そこで連辞とは～は～であるの「は」や「である」を指す 二階論理 ①すべての動物はある死を迎える ②すべて亀はある動物である ③すべて亀はある死を迎える 例 ① …
(1) 子日学而時習之不亦 【単語】 子 【発音】 シ 漢 ス 呉 【意味】 ① こども。 ② ひと。 ③ 男子の敬称。 ④ たね、たまご。 ⑤ 極めて小さいもの。 ⑥ 五等爵(子爵)。 ⑦ 十二支の一番目、北、午前零時。 【単語】 日 【発音】 ジツ 漢 ニチ 呉 【意味】 ① 太…
加法と乗法 () (零元) に対して (ⅰ) (ⅱ) が成立する． (証明の方針) (ⅰ),(ⅱ)ともに両辺が一致することを確かめる． (ⅰ)について ① を考える． 倍の定義より であるから ② を考える． したがって が成立する． (ⅱ)について ① を考える． ② を考える． それゆえ…
写像 とする．このとき (ⅰ) (ⅱ) が成立する． (証明の方針) 前提のまとめ より ☆ でありが与えられている．とくにについて，☆よりはともに群であるからである． ① であること を示す．そのために (ア) (イ) をいう． (ア)について を考える．このとき を仮定…
とする．このとき (ⅰ) (ⅱ) が成立する．但し写像 は与えられている． (証明の方針) ① ② 便宜のため と置く． ①について に対して i.e. 論理積と共通部分の関係 である．また () () であるから，と表される．したがって，はの演算に関して群を成す．すなわち…
群準同型写像 写像 とする．このとき (ⅰ) (ⅱ) が成立する． (証明の方針) (ⅰ)について よりの元はすべてに属するので，は群を成し，である．いま，便宜のため と置く．このときに対して を示す．そのために (ア) (イ) をいう． (ア)について を証明する． i.…
1つの群 群準同型写像 とする．このとき (1) (2) が成立する． (証明の方針) (1)について 群準同型写像に対して，とくに写像の性質 を考える．いま について から を得る． (2)について が与えられているので に対してより である．そして と成る．一方 であ…
とする．このとき (乗法群とは限らない) を定めるとはの演算で群を成す． 単位元： 逆元： この群をを法とする剰余群(因子群)という． (証明の方針) を用いる． (1) 結合律 したがって が成立する． (2) 単位元 は群であるから，に対して を考えるとの演算の…
とする．このとき (ⅰ) (ⅱ) が成立する． (証明の方針) の内包 (ⅰ)について (ア) (イ) を示す． (ア) をいう．そのために を示せばよい． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 ☆ 1 (4) 2-3. →-導入 1 (5) 4. ∀-導入 (イ) (ア)と同様． (ⅱ) (ⅰ)の証明方法で…
とする．このとき が成立する． (証明の方針) と置く．いま を示す．そのために をいえばよい． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 ☆ 1 (4) 2-3. →-導入 1 (5) したがってが示された． ☆について であるからとの元はすべてに属するので，このような仮定…
とする．このとき，ととを含むの最小の部分群を で表し，とにより生成された部分群という． 補足 とする．このとき より より に表示を改める．もっとも のように書いてもよい．
有限群 とする．このとき である． (証明の方針) を示す． より である．とくにから がわかる．これより単位元の性質を考えると，単位元は交換性があるので が成立する．したがって，である．
