類題 27　根号の外し方　27項

$a,b,c,......：束縛変数(実数)$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ(実数)$

とする．このとき

$\sqrt{x^2+12a}$ 　　 $(\bar{x}:=\bar{a}-3)$

を $a$ の式で表せ．

(解答の方針)

$\bar{x}:=\bar{a}-3$ 　　∃-仮定

より与式から

$(\bar{a}-3)^2+12\bar{a}$ 　　∃-導入

を考え，これを展開すると

$\bar{a}^2+6\bar{a}+9=(\bar{a}+3)^2$

である．

　したがって

$\sqrt{\bar{x}^2+12\bar{a}}=\sqrt{(\bar{a}+3)^2}=|\bar{a}+3|$ 　　∃-除去

と書ける．そして，その他の仮定はないので∀-導入可能であるから

$|a+3|=a+3$ 　　( $a≥-3$ )

$|a+3|=-(a+3)$ 　( $a$ < $-3$ )　　☆

を得る．

☆について

　∧と∨は使用制限しているので☆は山積みである．

日記2