日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

応用例題 28　27項

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

とする．

$\bar{x}:=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1},\bar{y}:=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ のとき，次の式の値を求めよ．

(1)　 $x+y$

(2)　 $xy$

(3)　 $x^2+y^2$

(解答の方針)

(1)について

　まず，与えられた $x,y$ について有理化を行う．すなわち

$\bar{x}=\sqrt{2}+1,\bar{y}=\sqrt{2}-1$ 　　∃-仮定

である．次に

$\bar{x}+\bar{y}$

に対して

$\bar{x}+\bar{y}=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}$

と書ける．すなわち

$x+y=2\sqrt{2}$ 　　∃-除去

を得る．

(2)について

$\bar{x}\bar{y}$ 　　∃-仮定①

に関して

$\bar{x}\bar{y}=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1).$

ここで

$\bar{a}:=\sqrt{2}$ 　　∃-仮定②

と置く．

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\bar{a}+1)(\bar{a}-1)=\bar{a}^2-1=(\sqrt{2})^2-1=1.$ 　　∃-除去②

したがって

$xy=1$ 　　∃-除去①

で表される．

(3)について

$\bar{x}^2+\bar{y}^2$ 　　∃-仮定

に対して

$\bar{x}+\bar{y}=(\bar{x}+\bar{y})^2-2\bar{x}\bar{y}=(2\sqrt{2})^2-2\cdot1=6.$

それゆえ

$x^2+y^2=6$ 　　∃-除去

である．