応用例題 29　二重根号　28項

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

とする．このとき次の式の二重根号を外して簡単にせよ．

(解答の方針)

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5}\sqrt{2}}$ に対して

$\bar{a}:=5$

$\bar{b}:=2$ 　　∃-仮定

と置く．このとき

$\sqrt{(\bar{a}+\bar{b})+2\sqrt{\bar{a}}\sqrt{\bar{b}}}=\sqrt{(\bar{a}+\bar{b})^2}=|\bar{a}+\bar{b}|$

である．ここで

$\sqrt{\bar{a}}$ > $\sqrt{\bar{b}}$ 　i.e.　 $\sqrt{\bar{a}}-\sqrt{\bar{b}}$ > $0$

より

$|\sqrt{\bar{a}}+\sqrt{\bar{b}}|=\sqrt{\bar{a}}+\sqrt{\bar{b}}$

と成る．したがって

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$ 　　∃-除去

を得る．

日記2