日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

白チャート　基本例題 34　65項

加藤文元・チャート研究所『新課程(赤)チャート式数学Ⅰ+ A』数研出版 2022

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

とする．このとき　次の不等式を解け．

(2)　 $3(x-2)≥2(2x+1)$

(解答の方針)

　与式に対して反射的閉包の性質より

$3(\bar{x}-2)=2(2\bar{x}+1)$ 　　∀-除去

を $\bar{x}$ について解く．

$3\bar{x}-6=4\bar{x}+2$

であるが，ここまでに仮定はないので

$-\bar{x}=8$ 　　∀-導入適用可能

である．したがって，

$-x=8$ 　i.e.　 $x=-8$ 　　∀-導入

を得る．

☆　単称判断は全称判断に含まれる．

応用例題 29　二重根号　28項

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

とする．このとき次の式の二重根号を外して簡単にせよ．

(解答の方針)

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5}\sqrt{2}}$ に対して

$\bar{a}:=5$

$\bar{b}:=2$ 　　∃-仮定

と置く．このとき

$\sqrt{(\bar{a}+\bar{b})+2\sqrt{\bar{a}}\sqrt{\bar{b}}}=\sqrt{(\bar{a}+\bar{b})^2}=|\bar{a}+\bar{b}|$

である．ここで

$\sqrt{\bar{a}}$ > $\sqrt{\bar{b}}$ 　i.e.　 $\sqrt{\bar{a}}-\sqrt{\bar{b}}$ > $0$

より

$|\sqrt{\bar{a}}+\sqrt{\bar{b}}|=\sqrt{\bar{a}}+\sqrt{\bar{b}}$

と成る．したがって

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$ 　　∃-除去

を得る．

応用例題 28　27項

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

とする．

$\bar{x}:=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}-1},\bar{y}:=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ のとき，次の式の値を求めよ．

(1)　 $x+y$

(2)　 $xy$

(3)　 $x^2+y^2$

(解答の方針)

(1)について

　まず，与えられた $x,y$ について有理化を行う．すなわち

$\bar{x}=\sqrt{2}+1,\bar{y}=\sqrt{2}-1$ 　　∃-仮定

である．次に

$\bar{x}+\bar{y}$

に対して

$\bar{x}+\bar{y}=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}$

と書ける．すなわち

$x+y=2\sqrt{2}$ 　　∃-除去

を得る．

(2)について

$\bar{x}\bar{y}$ 　　∃-仮定①

に関して

$\bar{x}\bar{y}=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1).$

ここで

$\bar{a}:=\sqrt{2}$ 　　∃-仮定②

と置く．

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\bar{a}+1)(\bar{a}-1)=\bar{a}^2-1=(\sqrt{2})^2-1=1.$ 　　∃-除去②

したがって

$xy=1$ 　　∃-除去①

で表される．

(3)について

$\bar{x}^2+\bar{y}^2$ 　　∃-仮定

に対して

$\bar{x}+\bar{y}=(\bar{x}+\bar{y})^2-2\bar{x}\bar{y}=(2\sqrt{2})^2-2\cdot1=6.$

それゆえ

$x^2+y^2=6$ 　　∃-除去

である．

類題 27　根号の外し方　27項

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

$a,b,c,......：束縛変数(実数)$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ(実数)$

とする．このとき

$\sqrt{x^2+12a}$ 　　 $(\bar{x}:=\bar{a}-3)$

を $a$ の式で表せ．

(解答の方針)

$\bar{x}:=\bar{a}-3$ 　　∃-仮定

より与式から

$(\bar{a}-3)^2+12\bar{a}$ 　　∃-導入

を考え，これを展開すると

$\bar{a}^2+6\bar{a}+9=(\bar{a}+3)^2$

である．

　したがって

$\sqrt{\bar{x}^2+12\bar{a}}=\sqrt{(\bar{a}+3)^2}=|\bar{a}+3|$ 　　∃-除去

と書ける．そして，その他の仮定はないので∀-導入可能であるから

$|a+3|=a+3$ 　　( $a≥-3$ )

$|a+3|=-(a+3)$ 　( $a$ < $-3$ )　　☆

を得る．

☆について

　∧と∨は使用制限しているので☆は山積みである．

平均の速さ　17項

1.　平均の速さ

等速直線運動をしている電車がある
100m間隔の柱の間を4.0sで通過した
この電車の速さはいくらか(m/s)？　また何km/hか？

(解答の方針)

　たとえば，原点Oを最初から2番目の柱に置く．このようなOから次の柱(3番目)すなわち100mまでの速さを測る．つまり，電車は100mを4.0sで走ったと看做す．このときの平均の速さvは

$\displaystyle v=\frac{100\mathrm{m}}{4.0\mathrm{s}}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}$

である．これより

$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=1500\mathrm{m}/\mathrm{min}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$

がわかる．

補足

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

とする．このとき

$\displaystyle\bar{v}=\frac{\bar{x}}{\bar{t}}$

が成立する．このパラメタには何を代入してもよい．

手順は

①　∀-除去

②　∀-導入

である．実際

$\displaystyle\bar{v}=\frac{\bar{x}}{\bar{t}}$ 　　∀-除去

に対して

$\displaystyle\frac{100\mathrm{m}}{4.0\mathrm{s}}=25\mathrm{m/s}$

であり，その他の仮定はないので∀-導入適用可能である．したがって

$v=25\mathrm{m/s}$ 　　∀-導入

を得る．

基本例題　25　26項

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

$a,b,c,......：束縛変数(実数)$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ(実数)$

とする．このとき次の式を計算せよ．

(1)　 $(3-2\sqrt{2})^2$

(2)　 $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$

(解答の方針)

(1)について

$\bar{a}:=3$

$\bar{b}:=2\sqrt{2}$ 　　∃-仮定

と置く．このとき与式は

$(\bar{a}-\bar{b})^2=\bar{a}^2-2\bar{a}\bar{b}+\bar{b}^2$ 　　∃-導入

$=3^2-2\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2$ 　　∃-除去

$=17-12\sqrt{2}$

である．

(2)について

$\bar{a}:=3$

$\bar{b}:=2\sqrt{2}$ 　　∃-仮定

と置く．このとき与式は

$(\bar{a}+\bar{b})(\bar{a}-\bar{b})$ 　　∃-導入

$=\bar{a}^2-\bar{b}^2$ 　　　

$=3^2-(2\sqrt{2})^2$ 　　∃-除去

$=9-8=1$

で書ける．

基本例題　23　循環小数　23項

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

$a,b,c,......：束縛変数(実数)$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ(実数)$

とする．このとき $0.\dot{4}5\dot{6}$ を分数の形で表せ．

(解答の方針)

$\bar{x}:=0.456456\cdots\cdots$ 　　∃-仮定

と置く．いま $1000\bar{x}$ を考える．すなわち

$1000\bar{x}=456.456456\cdots\cdots$

である．このような $1000\bar{x}$ から $\bar{x}$ を引くと

$999\bar{x}=456$

を得る．したがって

$\bar{x}=\displaystyle\frac{152}{333}$

と計算することができるので

$x=\displaystyle\frac{152}{333}$ 　　∃-導入及除去

で表される．

☆　実数のパラメタというのは，どんな実数を代入しても何の四則演算を加えてもよい．ここから言えることは，無限の計算もパラメタでさえあれば，計算可能だということである．もちろん，最終的には閉式にできるパラメタである必要はあるが，この計算方法が無限の計算に役に立てばよいなと思う．