2024-02-20

人類の歴史

①　人類は700万年以上前に出現した．

②　人類の特徴は，直立二足歩行で猿人・原人・旧人・新人の順に進化したと考えられている．

③　文字のある時代を歴史時代という．

④　それに対して，歴史時代よりも前を先史時代と呼ぶ．

2024-02-20

更新世の日本列島

①　現在から約260万年前から1万年前までを，地質学では更新世と呼ぶ．

②　考古学では，この更新世を旧石器時代という．

③　また，旧石器時代は氷河時代ともいわれている．

④　旧石器時代の日本列島は，大陸と陸続きだった．

⑤　大陸から日本列島へマンモス，ヘラジカ，ナウマンゾウ，トウヨウゾウ，オオツノジカが渡ってきた．

2024-02-20

古代から中世にかけての世界観

①　古代の人々は，自分たちの身の回りに限定した狭い世界観だった．

②　紀元前3世紀頃，エラトステネスがエジプトのアレクサンドリアで，地球の大きさを計測した．当時，地球は丸いと考えられていた．

③　中世ヨーロッパでは，キリスト教の支配下にありながらも，イスラムの知識が普及して，地球について正確な理解が進んで行った．

2024-02-18

練習 38　97項

加藤文元・チャート研究所『新課程(赤)チャート式数学Ⅰ+ A』数研出版 2022

$a,b,c,......：実数パラメタ$

$放物線：y=x^2-4x$

$x軸方向：+2$

$y軸方向：-1$

の平行移動をしたとき，放物線の方程式を求めよ．

☆　関数と方程式

　パラメタのグラフという意味で両者は同じものである．しかし，関数は∀-除去( $x$ )，∃-仮定( $y$ )により点をパラメタ化するのに対して，方程式は，∃-仮定( $xとy$ )，点の指定すなわち点 $(x,y)$ により点を走らせる，という違いがある．

(解答の方針)

①　平方完成

$y=x^2-4x$ 　　∃-仮定

$=(x+\frac{-4}{2})^2-\displaystyle\frac{(-4)^2-0}{4}=(x-2)^2-4$

②　平行移動

$y=(x-2)^2-4$ の頂点は点(2,-4)である．これを条件から平行移動すると点(4,-5)に移る．

　したがって，求める放物線の方程式は

$y=(x-4)^2-5$ 　　∃-除去

である．

☆　感想

　グラフもベクトルの平行移動のように自由に動かせる，ということがわかった．

2024-02-18

例 32　88項

加藤文元・チャート研究所『新課程(赤)チャート式数学Ⅰ+ A』数研出版 2022

$a,b,c,......：パラメタ(実数)$

とする．このとき，次の関数の値を求めよ．

$y=x+2$ 　　( $-1≤x$ < $2$ )

(解答の方針)

$y:=x+2$ 　　∃-仮定( $y$ について)

に対して，反射的閉包の性質より

$-1≤x$ < $2$ 　　∀-除去

i.e.　 $-1≤x\leftrightarrow x$ < $2$ 　

i.e.　 $x=-1\leftrightarrow x$ < $2$

と成る．したがって

$y=1$ 　　( $x=-1$ )　∃-除去，∀-導入

を得る．

2024-02-18

例 20　51項

加藤文元・チャート研究所『新課程(赤)チャート式数学Ⅰ+ A』数研出版 2022

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．

問題　省略

(解答の方針)

$縦の長さ：x$ 　cm　　∃-仮定

$横の長さ：2x$ 　cm　 ∃-仮定

$高さ：5$ 　cm

$容積：1.5$ 　L

☆　 $1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$

単位は省略して計算をする．縦の長さと横の長さは $x,2x$ と置いた，と解釈されたい．このとき，次のような方程式を立て $x$ について解く．

$(x-10)(2x-10)×5=1500$

i.e.　 $(x-10)(2x-10)=300$

i.e.　 $2x^2-30x-200=0$

i.e.　 $x^2-15x-100=0$

i.e.　 $(x+5)(x-20)=0$

であるから

$x=-5$ 　∃-除去

$x=20$ 　山積(「または」でも「かつ」でもない)

である．いま，面積を求めているので $x$ > $0$ より $x=20$ を得る．

　したがって

$縦の長さは20$ 　cm

$横の長さは40$ 　cm

がわかる．

2024-02-17

練習10　39項

加藤文元・チャート研究所『新課程(赤)チャート式数学Ⅰ+ A』数研出版 2022

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

(1)　

$0$ < $\bar{a}$ < $2$ 　　∃-仮定

に対して

$\sqrt{\bar{a}^2+2\bar{a}+1}-\sqrt{\bar{a}^2-6\bar{a}+9}=\sqrt{(\bar{a}+1)^2}-\sqrt{(\bar{a}-3)^2}$

$=|\bar{a}+1|-|\bar{a}-3|$

とくに

$|\bar{a}+1|≥0$ 　i.e.　 $|\bar{a}+1|=0$ 　　反射的閉包の性質

$|\bar{a}-3|≥0$ 　i.e.　 $|\bar{a}-3|=0$

である．このとき，絶対値を外すために以下のような方程式を立てれば

$\bar{a}+1=0$ 　i.e.　 $\bar{a}=-1$

$\bar{a}-3=0$ 　i.e.　 $\bar{a}=3$

を得る．しかし，これらは仮定 $0$ < $\bar{a}$ < $2$ に反するので，絶対値が0に成ることはない．したがって，この問題は絶対値の性質から棄却される．

(2)

$\bar{x}:=\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}$ 　　∃-仮定

$\displaystyle\frac{\sqrt{1+\bar{x}}-\sqrt{1-\bar{x}}}{\sqrt{1+\bar{x}}+\sqrt{1-\bar{x}}}=\frac{\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}-\sqrt{1-\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}+\sqrt{1-\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}}$

　いま

$\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\bar{a}^2}{1+\bar{a}^2}+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\bar{a}^2+2\bar{a}+1}{\bar{a}^2+1}}=\displaystyle\frac{|\bar{a}^2+1|}{\sqrt{\bar{a}^2+1}}$