日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

練習10　39項

加藤文元・チャート研究所『新課程(赤)チャート式数学Ⅰ+ A』数研出版 2022

$a,b,c,......：束縛変数$

$\bar{a},\bar{b},\bar{c},......：パラメタ$

(1)　

$0$ < $\bar{a}$ < $2$ 　　∃-仮定

に対して

$\sqrt{\bar{a}^2+2\bar{a}+1}-\sqrt{\bar{a}^2-6\bar{a}+9}=\sqrt{(\bar{a}+1)^2}-\sqrt{(\bar{a}-3)^2}$

$=|\bar{a}+1|-|\bar{a}-3|$

とくに

$|\bar{a}+1|≥0$ 　i.e.　 $|\bar{a}+1|=0$ 　　反射的閉包の性質

$|\bar{a}-3|≥0$ 　i.e.　 $|\bar{a}-3|=0$

である．このとき，絶対値を外すために以下のような方程式を立てれば

$\bar{a}+1=0$ 　i.e.　 $\bar{a}=-1$

$\bar{a}-3=0$ 　i.e.　 $\bar{a}=3$

を得る．しかし，これらは仮定 $0$ < $\bar{a}$ < $2$ に反するので，絶対値が0に成ることはない．したがって，この問題は絶対値の性質から棄却される．

(2)

$\bar{x}:=\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}$ 　　∃-仮定

$\displaystyle\frac{\sqrt{1+\bar{x}}-\sqrt{1-\bar{x}}}{\sqrt{1+\bar{x}}+\sqrt{1-\bar{x}}}=\frac{\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}-\sqrt{1-\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}+\sqrt{1-\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}}$

　いま

$\sqrt{1+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\bar{a}^2}{1+\bar{a}^2}+\displaystyle\frac{2\bar{a}}{1+\bar{a}^2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\bar{a}^2+2\bar{a}+1}{\bar{a}^2+1}}=\displaystyle\frac{|\bar{a}^2+1|}{\sqrt{\bar{a}^2+1}}$

を考える．このとき

$|\bar{a}^2+1|≥0$ 　i.e.　 $|\bar{a}^2+1|=0$ 　　反射的閉包の性質

である．このような等式をみたすものを発見するために方程式

$\bar{a}^2+1=0$

を立てれば $\bar{a}^2=-1$ を得る．そして

$\bar{a}^2=-1$ 　i.e.　 $\bar{a}=+\sqrt{-1}$ 　　(問題の条件 $a$ > $0$ )

であるがしかし， $\sqrt{-1}$ は実数ではないので，この問題は棄却される．